RC-интегратор: основополагающие принципы схемы

RC-интегратор: основополагающие принципы схемы

Схема RC-интегратора представлена последовательно соединенными RC-элементами, в результате чего формируется выходной сигнал, сопоставимый с математическим процессом интеграции. Пассивная схема интегратора выстроена схемой, где входной потенциал принимается RC последовательностью, тогда как выходной потенциал снимается непосредственно с обкладок конденсатора. Имеет место вариант RC схемы, являющийся полной противоположностью схеме RC-дифференциатора.

Подробнее об электронной схеме RC-интегратора

Практика электроники показывает: использование подключенных резистивно-конденсаторных схем находит массовое применение, начиная от базовых схем заряда/разряда и завершая высоковольтными фильтрующими цепями.

Эта двухкомпонентная пассивная схема RC-интегратора выглядит просто, но в зависимости от вида и частоты применяемого входного сигнала, поведение и отклик базовой схемы RC-интегратора различаются кардинально.

Пассивная цепь RC-интегратора рассматривается последовательным соединением резистора с ёмкостью. Фактически — соединение постоянного сопротивления последовательно с конденсатором, обладающим частотно-зависимой характеристикой сопротивления. Ёмкостное сопротивление снижается по мере увеличения частоты заряда/разряда.

Таким образом, на низких частотах реактивность (Xc) ёмкости высока, на высоких частотах эта реактивность, соответственно, мала. Стандартная формула ёмкостного реактивного сопротивления наглядно демонстрирует этот эффект:

Xc = 1 / (2πƒC),

Получается, при входном синусоидальном сигнале RC-интегратор действует аналогично классическому фильтру нижних частот. Частота или угол отсечки равны постоянной времени RC (τ — tau) последовательной цепи, а выход снижается выше этой граничной частоты. Соответственно, при подаче чистой синусоиды RC-интегратор действует как пассивный фильтр нижних частот.

Электрическая классическая схема RC-интегратора

Классическая схема RC-интегратора
Классическая схема RC-интегратора, которая встречается практически в любой схемотехнике сложных электронных устройств и способствует правильной работе многих электронных узлов

Константа времени RC отражает соотношение между сопротивлением и емкостью по количеству времени, заданного в секундах. Это отношение прямо пропорционально сопротивлению  R и емкости C. Скорость заряда/разряда зависит от константы времени RC:

τ = R*C

Для схемы RC-интегратора потенциал входа действует на сопротивление с произвольным выходом через ёмкость (Vвых = VC). Поскольку конденсатор является частотно-зависимым электронным элементом, величина заряда, установленная на пластинах, равна интегралу во времени по току. То есть ёмкость требует определенного количества времени на заряд.

Поэтому ток конденсатора можно записать в виде:

Ic = C (dVc / dt)

Это основное уравнение также может быть выражено как мгновенная скорость изменения заряда Q по времени, что даёт следующее стандартное уравнение:

Ic = dQ / dt

где заряд Q = C * Vc.

Скорость, при которой конденсатор набирает или сбрасывает заряд, прямо пропорциональна величине резистора и ёмкости. Этой величиной определяется константа времени цепи.

Отсюда вытекает логика: константа времени схемы RC-интегратора — это временной интервал, значение которого равно произведению R и C.

Вычислить ёмкость можно как С = Q / Vc, где электрический заряд Q – это поток тока (I) по времени (t). Иначе заряд можно описать как произведение (I*x*t) в кулонах, а из закона Ома известно: V = I * R. Тогда, подставляя значения в уравнение для постоянной времени RC, получают константу времени RC в секундах:

RC = T

Эта константа отражает время (в секундах), необходимое для заряда конденсатора на 63,2% или для разряда ёмкости на 36,8% относительно максимального напряжения.

Заряд, формируемый на конденсаторе RC-интегратора

Ранее упоминалось, что для RC-интегратора выход равен значению напряжения на ёмкости, подключенной к выходу. Эта величина пропорциональна заряду Q сохранённому на конденсаторе и определяется формулой:

Q = V * C

В результате выходное значение является интегралом входного напряжения с величиной интеграции, зависящей от значений R и C и, следовательно, постоянной времени цепи.

Ток конденсаторов можно выразить как скорость изменения заряда Q по времени. Поэтому из основного правила дифференциального исчисления производная от Q по времени равна dQ / dt, а при I = dQ / dt. Получается следующее соотношение:

Q = ∫ I * dt (заряд Q на ёмкости в любой момент времени)

Поскольку вход RC-интегратора подключен к резистору, тот же ток I должен проходить через резистор и конденсатор (IR = Ic), создавая падение напряжения Vr на резисторе. Отсюда ток I, проходящий через цепь RC-интегратора можно выразить как:

I(t) = C * (dV / dt)

Отсюда:

Vвых = 1/C ∫ I(t) * dt

Поскольку I = Vвх / R, замена и перестановка для определения Vвых, в зависимости от времени, дает:

Vвых = 1/ RC ∫ Vвх * dt

Другими словами, выход схемы RC-интегратора, являющийся напряжением на конденсаторе, равен времени интеграла входного напряжения Vвх, определённому по константе 1 / RC. Где RC представляет константу времени — τ (tau).

Тогда, предполагая, что начальный заряд на конденсаторе равен нулю (Vвых = 0), а входное напряжение Vвх является постоянным, выходное напряжение Vвых RC-интегратора выражается во временной области как:

Формула, определяющая работу RC-интегратора
Формула, определяющая работу RC-интегратора, в частности значение потенциала выхода схемы

Таким образом, схема RC-интегратора представляет вариацию, где выходное значение (Vвых) пропорционально интегралу входного значения (Vвх). Рассмотрим, что произойдет, если к RC-интегратору применить один положительный импульс в виде ступенчатого напряжения.

Одиночный импульс входа схемы RC-интегратора

Когда на вход RC-интегратора подается один импульс напряжения, конденсатор в ответ на импульс заряжается через резистор. Однако выход не мгновенный, поскольку напряжение заряда не может изменяться мгновенно. Увеличение происходит экспоненциально, учитывая, что ёмкость заряжается со скоростью, определяемой постоянной времени τ = RC.

Если применяется идеальный импульс с шагом тока, когда передняя и задняя кромка одномоментные, напряжение на конденсаторе будет увеличиваться до полного и уменьшаться на выходе экспоненциально с течением времени и со скоростью, определяемой формулой 1 для заряда:

Формула заряда для RC-интегратора
Формула для RC-интегратора, определяющая процесс заряда ёмкости, включенной на выходе схемы

и формулой 2 для разряда:

Формула разряда для RC-интегратора
Формула  для RC-интегратора, определяющая значение потенциала разряда ёмкости на выходе

Поэтому, если принимается напряжение ёмкости, равное одному вольту, допустимо вычислить процент заряда или разряда конденсатора для каждой индивидуальной постоянной времени R, как показано в следующей таблице:

Константа, τ Заряд конденсатора, % Разряд конденсатора, %
0,5 39,4 60,6
0,7 50 50
1 63,2 36,7
2 68,4 13,5
3 95 4,9
4 98,1 1,8
5 99,3 0,67

Стоит обратить внимание, что при 5-кратных значениях константы или выше, конденсатор считается полностью заряженным или полностью разряженным.

Пример схемы RC-интегратора под математический расчёт

Предположим, есть схема RC-интегратора, состоящая из резистора номиналом 100 кОм и конденсатора ёмкостью 1 мкФ.

Пример расчётной схемы
Принципиальная схема под расчёт основных значений RC-интегратора

Константа времени (τ) схемы RC-интегратора задается как:

RC = 100 кОм * 1uF = 100 мс

Предположим, применяется импульсное напряжение к входу, продолжительностью равной двум временным константам (200 мс). Тогда, согласно приведенной выше таблице, становится очевидным, что конденсатор зарядится до 86,4% от полного заряженного значения.

Если входной импульс имеет амплитуду 10 вольт, то это состояние соответствует напряжению 8,64 вольт, прежде чем конденсатор снова разрядится обратно через резистор к источнику на момент возврата входного импульса к состоянию нуля.

Если предположить, что схема RC-интегратора допускает полный разряд ёмкости за время, равное 5 постоянным времени (500 мс) до прибытия следующего входного импульса, тогда график кривых заряда и разряда конденсатора выглядит, примерно, так:

График расчётной схемы
График показателей для расчётной схемы, под определённые проходящих процессов заряда / разряда ёмкости на выходе схемы

Необходимо обратить внимание, что разряд ёмкости схемы RC-интегратора стартует от начального значения 8,64 вольта (2 константы времени), а не от значения напряжения входа, в данном случае равного 10 вольтам.

По мере сохранения постоянной времени RC, любое изменение ширины входного импульса влияет на выход схемы RC-интегратора.

Если ширина импульса увеличивается и равна или больше 5RC, тогда форма выходного импульса становится аналогичной форме входного сигнала. Это объясняется тем, что выходное напряжение достигает того же значения, что и напряжение входа.

Однако если ширина импульса становится меньше значения 5RC, ёмкость заряжается частично — не достигает максимума входного напряжения.

Такое состояние приводит к меньшему выходному напряжению, так как конденсатор не заряжен до значения, равного выходному пропорциональному интегралу напряжения входа.

Поэтому, если предположить, что входной импульс равен одной постоянной времени (1RC), заряд/разряд конденсатора проходит не в диапазоне 0 — 10 вольт, а в диапазоне, равном 63,2% и 38,7% напряжения на ёмкости, соответственно. Эти значения определяются константой времени RC.


При помощи информации: Electronics-Tutorials


Добавить комментарий

Внимание: Спам не пройдёт. Работает фильтрация комментариев. *